动态规划选讲1

简介

动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

LeetCode 5 最长回文子串

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

示例 1：

示例 2：

分析：

设置dp[s,size()][s.size()]大小的dp布尔类型的数组，其中dp[i][j]代表字符串s从i到j是一个回文，递推存在以下几种情况：

• 显然从自己到自己单个字符是 dp[i][i] = true
• 当i******j中间的*部分是回文时如果s[i]==s[j]则i到j也是回文，如果中间的不是回文，则i到j也不是回文，及dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
• 如果s[i] == s[i - 1]则dp[i][i-1] = dp[i-1][i] = true

C++代码：

LeetCode 152 乘积最大子序列

C++代码：

LeetCode 279 完全平方数

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

示例 2:

分析：

此题即最少硬币问题：硬币对应于完全平方数。因此我们先计算好小于n的完全平方数，接下来通过动态规划数组dp[n]来计算，其中dp[i]代表正整数i最少组成个数。当当前完全平方数x小于整数i时，我们判断dp[i-x]+1与dp[i]的大小，如果dp[i-x]较小，则替换掉。另外dp[0]=0。

C++代码：