三门问题——亦称为蒙提霍尔问题，出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。问题是这样的：
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参赛者面前有三扇关闭着的门，其中一扇的后面是一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车， 而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，主持人会开启剩 下两扇门中的一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要更换选择，选另一扇仍然关着的门。 |
据说此节目一经播出就引起了一场热烈的讨论，有人说应该换，有人认为换不换都一样。主持人给出的答案是应该换，并在下一期的节目中给出了一个分析表格用来说明她的理由。但这下反对的声音更大了，在几千封来信中，反对者达到了9成。[1]
在所有认为该换和不该换的争论中，正反两方形成了两种对立的观点。
一种是认为不换的中奖几率是1/3，换的话将有2/3的几率中奖，因此当然应该换。因为：
根据参赛者的选择，一共有下面三种可能情况（两只山羊分别称为山羊A和山羊B）：
(1) 参赛者选择山羊A，主持人选择山羊B；
(2) 参赛者选择山羊B，主持人选择山羊A；
(3) 参赛者选择了汽车，主持人选择两只山羊的任何一只
三种情况几率各为1/3，如果换的话，前两种都会中奖，仅第三种不会中奖。所以选择换的中奖概率为2/3，不换几率只有1/3。
下面再来看看“反方”观点，这种观点认为换不换都一样，几率都是50%。因为：
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当参赛者选择一扇门时，他中奖的几率确实只有1/3。但当主持人帮忙排除掉一只山羊时， 车要么在参赛者所选的这个门中，要么在剩下的未被选择的那扇门中。此时参赛者变更选 择的话，当然中奖几率会提升到1/2。 |
还可以换一个角度来理解。即使他没有变更选择，他实际上也做出了选择，只是选择的是“不变更”而已。虽然选择的是“不变”，但不代表他的几率不变。整个过程重新组织一下会更容易看明白：
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(1) 参赛者选了一扇门但不打开 (2) 此时主持人在剩下的两扇门中选出一扇后面是山羊的门 (3) 然后参赛者在剩下的两扇门中再次选择了第一次选择的门 |
所以，他选到车的概率为50%。
为什么第二种观点是错误的呢？这是因为当我们第一次做出选择时，所基于的样本总数为3，此时选定的门后面为汽车的几率是1/3。并且选定后这一几率不会再改变（第二种答案正是基于几率会变的观点），因为对于已发生的事件来说，后来发生的事件是不可能影响它的几率的。
千万不要误解了上面这句话，这里谈到的是几率，是多次事件的统计结果，并不是确定的一次已发生事件的结果。例如，当把剩下的两个门都打开后，就能够确定第一扇门后面是否为汽车，但第一扇门的“几率”会因此而改变吗？不会，因为此时我们在谈的是特定一次的结果，而不是几率。如果我们将此过程重复很多次，每次选择一扇门之后都通过另外2扇门来判断这扇门后面是不是汽车，我们会发现，此时得到的几率仍然为1/3。
第二种答案之所以是错的，还在于它搞错了一件事情，当我们说“当我们做出选择时，几率就随之确定了”这句话时，实际上是在说“三扇门中任何一扇门后面是汽车的几率都是1/3”，而不是“我们的选择决定了这件事的几率”。我想很多人都搞错了这一点，一件事的发生几率是由事物的本质规律决定的，并不会因我们人类的意志为转移。
附：
我们不妨假设现在讨论的不是“三门问题”，是“一万个门”问题，看看结果怎么样？ 情景假设：面前有1W扇门，只有1扇后面有羊，其他门后面什么都没有。 情况1：直接选一扇门，后面有羊的几率是1/10000； 情况2：有一个好心人先帮我排除了9998扇门，留下两扇门给我选，选中有羊的几率是1/2； 上述两种情况说明的问题是：排除前后下决定，概率会有所改变！所以讨论的时候不要混为一谈！ 实际的情况是我先选了一扇门。选好后别人打开了9998扇门，后面都是空的。但如果我不更改选项，别人做的”排除行为，对我选的门有羊的概率不会有任何的影响，所以还是1/10000。 而剩下两扇门中必然有一扇后面有羊，因此剩下一扇门后有羊的概率是1-1/10000=9999/10000。 这和我们实际的感受也很接近，相信大家都会直觉地不相信自己一下就能”万里挑一“把有羊的门选出来，肯定选择”换“。 同理，三个门的情况下，不换得羊的概率是1/3，换了得羊的概率是2/3，只是三个门的情况只是分母太小，迷惑了大家的直观感受而已。
C语言实现：
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#include<iostream> #include<ctime> #include<stdlib.h> using namespace std; int openNone(bool *boxes, int choice) { int i = rand()%3; while(i==choice&&boxes[i]==true) { i = rand()%3; } return i; } int main() { int totalTimes = 1000000; int bingo = 0; bool boxes[3]; double myratio; srand((unsigned)time(NULL)); for(int i = 0; i < totalTimes; i++){ boxes[0]=boxes[1]=boxes[2] = false; boxes[rand()%3] = true; int choice = rand()%3; int hostChoice = openNone(boxes, choice); // 判断另一个盒子是否中奖等同于判断开始选的盒子没有中奖 if(!boxes[choice]){ bingo++; } } // 更换选择的中奖几率 myratio = (double)bingo*100/totalTimes; cout<<"主持人排除一个山羊，概率为："<<myratio<<"%"<<endl; } |
